Familie van

Koch

De familie van Koch is een verzameling fractalen die uitgevonden zijn door de Zweed Helge Von Koch. De gekendste zijn de kromme van Koch, het eiland van Koch (de ster van Koch, de sneeuwvlok van Koch) en de gletsjer van Koch.
Bij de kromme Van Koch vertrekt men van een lijnstuk, de basis genoemd. Die basis wordt dan verdeeld in 3 gelijke stukken, het middelste wordt vervangen door een gelijkzijdige driehoek zonder basis. Deze figuur noemt men de generator. De volgende stappen zijn nu steeds analoog.Men beschouwt elk lijnstuk als een nieuw basis en verdeelt die dan weer als voorheen.
We illustreren dit stap per stap.
Stap 1: basislijnstuk.
Kromme van Koch STAP 1
Stap 2: opdelen in drie gelijke stukken, middelste vervangen door gelijkzijdige driehoek, basis weglaten.
Kromme van Koch STAP 2
Stap 3: we herhalen de vorige stap voor elk lijnstuk.
Kromme van Koch STAP 3
...
Het uiteindelijke resultaat na 7 stappen:
Kromme van Koch STAP 7
Onderstaande applet illustreert de opbouw dynamisch.

Indien we vrijwel hetzelfde doen, maar als basis een driehoek nemen in plaats van een lijnstuk, dan verkrijgen we het Eiland van Koch of de Ster van Koch of ook de Sneeuwvlok van Koch.
Hieronder volgt een illustratie:

We kunnen dit ook inwendig doen, dan verkijgen we de Gletsjer van Koch zoals dynamisch weergegeven wordt. Vele mensen zien gelijkenissen met de Mandelbrot-verzameling. Wiskundig gezien echter zijn ze totaal verschillend.

De java broncode van bovenstaande applets vindt u hieronder.
Doordenker 1: wat is de lengte van de kromme van Koch?
Doordenker 2: wat is de oppervlakte van de ster van Koch?
Doordenker 3: wat is de oppervlakte van de gletsjer van Koch?
Vraag of opmerking?
E-mail*:
Bericht*: